北师大版数学新设计选修2-3精练含试卷分析答题技巧（打包17份）第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p1=()ξ -1 2 4P   p1A.0 B. C. D.1解析:由分布列性质pi=1,n=1,2,3,…,n,得+p1=1.所以p1=.答案:B2.已知事件A,B发生的概率都大于零,则()A.如果A,B是互斥事件,那么A与也是互斥事件B.如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D.如果A∪B是必然事件,那么它们一定是对立事件解析:对A,若A,B互斥,则A与不互斥;对B,若A,B不相互独立,则它们可能互斥,也可能不互斥;对C,是正确的.对D,当A∪B是必然事件,A∩B是不可能事件时,A,B才是对立事件.答案:C3.(2016·山东青岛教学质量调研)某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100),则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为()A.22.8% B.45.6%C.95.4% D.97.22%解析:设该校高考数学成绩为X,由X~N(100,100)知,正态分布的两个参数为μ=100,σ=10,所以P(80<X<120)=P(100-20<X<100+20)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954.答案:C4.若Y~B(n,p),且EY=3.6,DY=2.16,则此二项分布是()A.B(4,0.9) B.B(9,0.4)C.B(18,0.2) D.B(36,0.1)解析:由题意得np=3.6,np(1-p)=2.16,所以n=9,p=0.4.答案:B5.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为()A.0.015 B.0.005 C.0.985 D.0.995解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.所以至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.答案:D6.设由"0""1"组成的三位数组中,若用A表示"第二位数字为'0'的事件",用B表示"第一位数字为'0'的事件",则P(A|B)=()A. B.C. D.解析:∵P(B)=,P(A∩B)=,∴P(A|B)=.答案:C7.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是()A.[0.4,1) B.(0,0.4]C.(0,0.6] D.[0.6,1)解析:由题意知p(1-p)3≤p2(1-p)2,化简得2(1-p)≤3p,解得p≥0.4,又因为0<p<1,所以0.4≤p<1.故选A.答案:A8.由正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的任意3个顶点构成的所有三角形中,任取其中的两个,这两个三角形不共面的概率为()A. B.C. D.解析:从8个顶点中任选3个顶点组成三角形的个数为=56,从56个三角形中任选2个有种选法.正方体中四点共面的情况共有12种,每共面的四个顶点可组成=4个三角形,在4个三角形中任取2个的取法有=6种,所以8个顶点中的任意3个顶点构成的所有三角形中,任取其中的两个,这两个三角形共面的概率为,所以所求概率为1-.答案:A9.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记"点P(a,b)落在直线x+y=n上"为事件Cn(2≤n≤5,n∈N+),当事件Cn发生的概率最大时,n的所有可能取值为()A.3 B.4C.2和5 D.3和4解析:由题意知点P的坐标可能为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),故事件C2发生的概率为,事件C3发生的概率为,事件C4发生的概率为,事件C5发生的概率为,故选D.答案:D10.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是 ()自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4S1 0.25 50 70 -20 98S2 0.30 65 26 52 82S3 0.45 26 16 78 -10A.A1 B.A2C.A3 D.A4解析:分别求出方案A1,A2,A3,A4盈利的均值,得EA1=43.7,EA2=32.5,EA3=45.7,EA4=44.6,故选C.答案:C11.(2016·四川绵阳市高二月考)设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值的概率也均为0.2.若记Dξ1,Dξ2分别为ξ1,ξ2的方差,则()A.Dξ1>Dξ2B.Dξ1=Dξ2C.Dξ1<Dξ2D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关解析:因为Eξ1和Eξ2相等,且第二组数据是第一组数据的两两平均值,所以比第一组更"集中"、更"稳定",根据方差的概念,可得Dξ1>Dξ2.答案:A12.(2016·甘肃天水一中高二段考)一袋中有大小、形状、质地相同的4个红球和2个白球,给出下列结论:①从中任取3球,恰有一个白球的概率是;②从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为;③现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为;④从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确的结论是()A.①②④ B.①③④C.②③④ D.①②③④解析:①恰有一个白球的概率P=,故①正确;②每次任取一球,取到红球次数X~B,其方差为6×,故②正确;③设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球},则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=,故③错;④每次取到红球的概率P=,所以至少有一次取到红球的概率为1-,故④正确.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016·湖北省孝感高中高二上学期期中考试)已知离散型随机变量X的分布列为:X 0 1 2P 0.5 1-2q q2则常数q=.解析:由离散型随机变量的分布列意义得得q=1-.答案:1-14.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为(用数字作答).解析:由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式为an=10-2n(n=1,2,…,10).由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为,取得负数的概率为,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为.答案:15.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:ξ 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望Eξ=8.9,则y的值为.解析:依题意得即解得答案:0.416.甲、乙两人进行一场比赛,已知甲在一局中获胜的概率为0.6,无平局,比赛有3种方案:①比赛3局,先胜2局者为胜者;②比赛5局,先胜3局者为胜者;③比赛7局,先胜4局者为胜者.则方案对乙最有利.解析:设三种方案中乙获胜的概率分别为P1,P2,P3,每种方案都可以看成独立重复试验,则P1=×0.42+×0.6×0.42=0.352,P2=×0.43+×0.6×0.43+×0.62×0.43≈0.317,P3=×0.44+×0.44×0.6+×0.44×0.62+×0.44×0.63≈0.290.由于P1>P2>P3,所以方案①对乙最有利.答案:①三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)解(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为X 1 2 3P   从而EX=1×+2×+3×.18.(本小题满分12分)某高校设计了某实验学科的考核方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题才可提交通过.已知6道备选题中,考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2道题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,则ξ的所有可能取值为1,2,3,η的所有可能取值为0,1,2,3.∵P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,∴考生甲正确完成题数的概率分布列为ξ 1 2 3P   Eξ=1×+2×+3×=2.∵P(η=0)=,P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,∴考生乙正确完成题数的分布列为η 0 1 2 3P    Eη=0×+1×+2×+3×=2.(2)∵P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).从做对题数的数学期望考核,两人水平相当;从至少正确完成2道题的概率考核,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.19.(本小题满分12分)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加学校的义务劳动.(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设"男生甲被选中"为事件A,"女生乙被选中"为事件B,求P(B)和P(A|B).解(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.∴X的分布列为X 0 1 2P   (2)设"男生甲、女生乙都不被选中"为事件C,则P(C)=,∴所求概率为P()=1-P(C)=1-.(3)由题意得P(B)=,又∵P(AB)=,∴P(A|B)=.20.导学号43944048(本小题满分12分)某球类总决赛采取7局4胜制,预计本次比赛两队的实力相当,每场比赛组织者可获利200万元.(1)求组织者在本次比赛中获利不低于1200万元的概率;(2)组织者在本次比赛中获利的期望为多少万元?解设本次比赛组织者获利为X万元,当X=800时,这两队只进行四场比赛,两队有一队全胜,P(X=800)=2×=0.125;当X=1000时,这两队进行五场比赛,两队中有一队前四场比赛是胜三场,败一场,第五场胜,P(X=1000)=2=0.25;当X=1200时,这两队进行六场比赛,P(X=1200)=2=0.3125;当X=1400时,这两队比赛满七场,P(X=1400)=2=0.3125.所以X的分布列为X 800 1000 1200 1400P 0.125 0.25 0.3125 0.3125(1)组织者在本次比赛中获利不低于1200万元的概率是0.3125×2=0.625.(2)EX=800×0.125+1000×0.25+1200×0.3125+1400×0.3125=1162.5.故组织者在本次比赛中获利的期望为1162.5万元.21.导学号43944049(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值EX及方差DX.解(1)设A1表示事件"日销售量不低于100个",A2表示事件"日销售量低于50个",B表示事件"在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个",因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=×(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216.分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X~B(3,0.6),所以EX=3×0.6=1.8,方差DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.22.导学号43944050(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元,要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有 ①目标函数为z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为y=-x+,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).图1图2将z=1000x+1200y变形为y=-x+,当x=3,y=6时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3.图3四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为y=-x+,当x=6,y=4时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此,EZ=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率p1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,得3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.