【冲刺2019】高考数学二轮复习核心考点特色突破专题含试卷分析答题技巧（打包23份）专题06三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角θ满足tanθ＝6cosθ，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝________．【答案】：3＋22【解析】：由tanθ＝6cosθ得sinθ＝6cos2θ，即sinθ＝6(1－sin2θ)，解得sinθ＝63(负值已舍去)，cosθ＝33，代入sinθ＋cosθsinθ－cosθ，可得结果为3＋22.2、在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．【答案】：97【解析】：由三角函数的定义可知tanα＝21＝2，tanβ＝15，故tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2－151＋2×15＝97.3、函数y＝3sin2x＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】：π2【解析】：由题知函数最小正周期T＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】：4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】：－1【解析】：由题意，A＝2，T＝π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，即φ＝2kπ－π6，k∈Z，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f(－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f(x)＝cosx2sinx2－3cosx2的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f(x)＝cosx2sinx2－3cosx2＝12sinx－3·1＋cosx2＝sinx－π3－32，所以最小正周期为2π.7、将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】：.5π128、若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则fπ3的值是________．【答案】：12【解析】：因为f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋π6，从而fπ3＝sin2π3＋π6＝sin5π6＝12.9、已知α∈0，π2，β∈π2，π，cosα＝13，sin(α＋β)＝－35，则cosβ＝________.【答案】：－4＋6215【解析】：因为α∈0，π2，cosα＝13，所以sinα＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×13－35×223＝－4＋6215.10、若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】：－13【解析】：因为tanβ＝2tanα，所以sinβcosβ＝2sinαcosα，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝23，所以sinαcosβ＝13，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13－23＝－13.11．若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是▲．【答案】：（或）12、在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋π3)（x∈[0，2π]）的图象和直线y＝12的交点的个数是．【答案】．2解法1令，可得即，又x∈[0，2π]，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.解法2在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－25，则sinθ＋cosθ＝________.【答案】：－3125思路分析首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sinθ＝45，cosθ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由sinθ－2cosθ＝－25，sin2θ＋cos2θ＝1，得5cos2θ－85cosθ－2125＝0，解得cosθ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cosθ＝－725，从而sinθ＝－2425，所以sinθ＋cosθ＝－3125.解后反思虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用"根与系数的关系"能很快找到我们需要的解．本质上，sinθ－2cosθ＝－25，sin2θ＋cos2θ＝1可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由Asinθ＋Bcosθ＝C求sinθ，cosθ可能有两组解．14、已知sin(x＋π6)＝13，则sin(x－5π6)＋sin2(π3－x)的值为________．【答案】：59【解析】：sinx－5π6＝sinx＋π6－π＝－sin(x＋π6)＝－13，sin2π3－x＝cos2x＋π6＝1－sin2(x＋π6)＝1－19＝89，所以sinx－5π6＋sin2π3－x＝－13＋89＝59.解后反思本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分．【问题探究，变式训练】例1、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)的单调增区间为________．【答案】－π2＋kπ，kπ(k∈Z)【解析】：由题意可得f(x)＝2sinωx＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝kπ＋π6(k∈Z)．又因为φ<π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2cosx，故单调增区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)．【变式1】、..若f(x)＝3sin(x＋θ)－cos(x＋θ)－π2≤θ≤π2是定义在R上的偶函数，则θ＝________.【变式2】、.将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是________．【答案】π6解法1函数y＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3的图像向左平移m(m>0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y＝2sinx＋m＋π3，由于函数y＝2sinx的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m＋π3的最小值是π2，故m的最小值是π6.【关联6】、将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，32)，则φ的最小值为________.【答案】：π6【解析】：将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y＝sin(2x＋2φ)的图像，将点π6，32代入得sinπ3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2kπ＋π3或π3＋2φ＝2kπ＋2π3(k∈Z)，即φ＝kπ或φ＝kπ＋π6(k∈Z)，又因为φ>0，所以φ的最小值为π6.易错警示错以为函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y＝sin(2x＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．例2、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π2<φ<π2，x∈R的部分图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)的【解析】式；(2)当x∈－π2，π2时，求f(x)的取值范围．【解析】：(1)由图像知，A＝2，(2分)又T4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分)所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.(6分)所以f(x)＝2sinx＋π6.(8分)(2)当x∈[－π2，π2]时，x＋π6∈[－π3，2π3]，(10分)所以sinx＋π6∈[－32，1]，即f(x)∈[－3，2]．(14分)易错警示在求f(x)的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π6，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根．【变式1】、已知函数（其中A，，为常数，且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的【解析】式；（2）若，求的值．【解析】：（1）由图可知，A?2， T?，故，所以，f(x)?．又，且，故．于是，f(x)?．（2）由，得．所以， =．【变式2】、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的【解析】式；【解析】：(1)首先把函数化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，其中A＞0，ω＞0.(2)利用正弦、余弦定理，列出关于边a，b的方程组．规范解答(1)因为f(x)＝32sin2x－12(1＋cos2x)－12＝sin2x－π6－1所以函数f(x)的最小值是－2，此时2x－π6＝2kπ－π2，k∈Z，得x＝kπ－π6，k∈Z，即x的取值集合为xx＝kπ－π6，k∈Z.(2)由f(C)＝0，得sin2C－π6＝1.又C∈(0，π)，所以2C－π6＝π2，得C＝π3由sinB＝2sinA及正弦定理，得b＝2a.(11分)由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝3由b＝2a，a2＋b2－ab＝3，解得a＝1，b＝2.【关联】、已知向量a＝sinx，34，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求tanx－π4的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，当x∈0，π2时，求f(x)的值域．【解析】(1)因为a∥b，所以34cosx＋sinx＝0，所以tanx＝－34，所以tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝－34－11－34＝－7.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sinx＋cosx，－14·(cosx，－1)＝2sinxcosx＋cos2x＋14＝2sin2x＋π4＋32.因为x∈0，π2，所以π4≤2x＋π4≤5π4，所以－22≤sin2x＋π4≤1，所以12≤f(x)≤32＋2，即函数f(x)的值域为12，32＋2.